keindahan . . .: model indeks tunggal

MODEL INDEKS TUNGGAL

1. PENDAHULUAN

William Sharpe (1963) mengembangkan model yang disebut dengan model indeks tunggal (single-index model). Model ini dapat digunakan untuk menyederhankan perhitungan. disamping itu, model indeks tunggal dapat juga digunakan untuk menghitung return ekspektasi dan resiko portofolio.

2. MODEL INDEKS TUNGGAL DAN KOMPONEN RETURNNYA

Model indeks tunggal didasarkan pada pengamatan bahwa sekuritas berfluktuasi searah dengan indeks harga pasar. Secara khusus dapat diamati bahwa kebanyakan saham cenderung mengalami kenaikan harga jika indeks harga saham naik. Kebalikannya juga benar, yaitu jika indeks harga saham turun, kebanyakan saham mengalami penurunan harga. Hal ini menyarankan bahwa return-return sekuritas mungkin berkorelasi karena adanya reaksi umum (common response) terhadap perubahan-perubahan nilai pasar. Dengan dasar ini, return dari suatu sekuritas dan return dari indeks pasar yang umum dapat dituliskan sebagai hubungan :

R_i = a_i + β_i.R_M

Keterangan :

Ri = return sekuritas ke-I,

ai = suatu variable acak yang menunjukan komponen dari return sekuritas

ke-i yang independen terhadap kinerja pasar.

βi = Beta, yang merupakan koefisien yang mengukur perubahan Ri akibat

Dari perubahan RM

RM = tingkatan return dari indeks pasar, juga merupakan suatu variabel acak.

Variabel ai merupakan komponen return yang tidak tergantung dari return yang tidak tergantung dari return pasar. Variabel ai dapat dipecah menjadi nilai yang diekspektasikan (expected value) αi dan kesalahan residu (residual error) ei sebagai berikut:

a_i= α_i + e_i

subtitusikan persamaan diatas kedalam rumus di atas, maka didapatkan persamaan model indeks tunggal sebgi berikut :

R_i = α_i + β_i . R_M + e_i

Keterangan :

α_i = nilai ekspektasi dari return sekuritas yang independen terhadap return pasar,

e_i = kesalahan residu yang merupakan variabel acak dengan nilai ekspektasinya sama

dengan nol atau E (e_i)=0.

Model indeks tunggal membagi return dari suatu sekuritas ke dalam dua komponen, yaitu sebagai berikut :

· Komponen return yang unik diwakili oleh α_i yang independen terhadap return pasar.

· Komponen return yang berhubungan dengan return pasar yang diwakili oleh β_i . R_M.

Bagian return yang unik (α_i) hanya berhubungan dengan peristiwa mikro (micro event) yang mempengaruhi perusahaan begitu saja, tetapi tidak mempengaruhi semua perusahaan secara umum. Contoh dari peristiwa mikro misalnya adalah pemogokan karyawan, kebakaran, penemuan-penemuan penelitian, dsb. Bagian return yang berhubungan dengan return pasar ditunjukkan oleh Beta (β_i) yang merupakan sensitivitas return suatu sekuritas terhadap return dari pasar. Secara konsensus, return pasar mempunyai Beta bernilai 1. Suatu sekuritasyang mempunyai Beta 1,5 misalnya mempunyai artibahwa perubahan return pasar sebesar 1% akan mengakibatkan perubahan return dari sekuritas tersebut dengan arah yang sama sebesar 1,5%.

Model indeks tunggal dapat juga dinyatakan dalam bentuk return ekspektasi (expected return). Return ekspektasi dari model ini dapat diderivasi dari model sebagai berikut :

E(R_i)= E (α_i + β_i . R_M + e_i)

Dari properti ke-2 diketahui bahwa nilai ekspektasi dari suatu konstanta adalah bernilai konstanta itu sendiri, mak E(α_i) = α_idan (β_i.R_M) = β_i.E(R_M) dan secara konstruktif nilai E(e_i) = 0, maka return ekspektasi model indeks tunggal dapat dinyatakan sebagai :

E(R_i) = α_i + β_i . E(R_M)

Contoh :

Misalnya return ekspektasidari indeks pasar E(R_M) adalah sebesar 20%,bagian dari return ekspektasi suatu sekuritas yang independen terhadap pasar (α_i) dalah sebesar 4% dan β_i adalah sebesar 0.75.

ASUMSI – ASUMSI

Model indeks tunggal menggunakan asumsi – asumsi yang merupakan karakteristik model ini sehingga menjadi berbeda dengan model – model yang lainnya. Asumsi utama dari model indeks tunggal adalah kesalahan residu dari sekuritas ke-i tidak berkovari dengan kesalahan residu sekuritas ke-j atau ei tidak berkovari ( berkorelasi ) dengan ej untuk semua nilai dari I dan j. Asumsi ini secara matematis dapat dituliskan sebagai :

Cov(e_i,e_j) = 0

Besarnya Cov(ei,ej) dapat juga ditulis sebagai berikut :

Cov(e_i,e_j) = E([e_i – E(e_i)] . [e_j– E(e_j)])

Karena secara konstruktif bahwa E(ei) dan E(ej) adalah sama dengan nol, maka :

Cov(e_i,e_j) = E(e_i – 0)] . [e_j – 0)]

= E(e_i . e_j)

sehingga asumsi bahwa kesalahan residu untuk sekuritas ke-i tidak mempunyai korelasi dengan kesalahan residu untuk sekuritas ke-j dapat juga ditulis

E(e_i. e_j ) = 0

Return indeks pasar (R_M) dan kesalahan residu untuk tiap – tiap sekuritas (e_i) merupakan variabel – variabel acak. Oleh karena itu, diasumsikan bahwa ei tidak berkovari degan return indeks pasar R_M. Asumsi kedua ini dapat dinyatakan secara matematis sebagai :

Cov(e_i . R_M) = 0

Asumsi – asumsi dari model indeks tunggal mempunyai implikasi bahwa sekuritas – sekuritas bergerak bersama – sama bukan karena efek diluar pasar ( misalnya efek dari industri atau perusahaan itu sendiri ), melainkan karena mempunyai hubungan yang umum terhadap indeks pasar. Asumsi – asumsi ini digunakan untuk menyederhanakan masalah.

VARIAN RETURN SEKURITAS MODEL INDEKS TUNGGAL

Secara umum, varian dari suatu sekuritas dapat dinyatakan sebagai berikut :

Contoh :

Return saham PT A dan return indeks pasar selama 7 periode dan rata – rata aritmatikanya adalah sebagai berikut :

PERIODE Ke-t	Return Saham PT ‘A’ (R_A)	Return Indeks Pasar (R_M)
1	0.060	0.040
2	0.077	0.041
3	0.095	0.050
4	0.193	0.055
5	0.047	0.015
6	0.113	0.065
7	0.112	0.055
Rata-rata aritmatika	0.09957	0.04586

Model indeks tunggal menunjukkan bahwa άi dan adalah konstan dari waktu ke waktu untuk masing – masing sekuritas. Misalnya nilai untuk sekuritas PT A ini adalah konstan sebesar 1,7. Besarnya άA yang juga konstan dapat dihitung sebagai berikut :

Besarnya nilai kesalahan residu untuk tiap tiap periode dari return sekuritas ini dapat dihitung berdasarkan rumus model indeks tunggal pada contoh diatas sebagai berikut :

Dan besarnya kesalahan residu adalah :

Untuk tiap tiap periode, kesalahan residu dapat dihitung sebagai berikut :

Periode ke-t
1	e_A,1=0.060-0.0216-(1.7 . 0.040) = -0.0296
2	e_A,2=0.077-0.0216-(1.7 . 0.041)= -0.0143
3	e_A,3=0.095-0.0216-(1.7 . 0.050)= -0.0116
4	e_A,4=0.193-0.0216-(1.7 . 0.055)= -0.0779
5	e_A,5=0.047-0.0216-(1.7 . 0.015)= -0.0001
6	e_A,6=0.113-0.0216-(1.7 . 0.065)= -0.0191
7	e_A,7=0.112-0.0216-(1.7 . 0.055)= -0.0031

5. KOVARIAN RETURN ANTAR SEKURITAS MODEL INDEKS TUNGGAL

Secara umum, kovarian return antara dua sekuritas i dan j dapat juga dituliskan

untuk model indeks tunggal, nilai Ri, Rj, E(Ri), dan E(Rj) dapat disubtitusikan dengan menggunakan persamaan, sehingga kovarian return menjadi :

σ_ij = E[((α_i + β_i. R_M + e_i) – (α_i + β_i . E(R_M))) .

((α_j + β_j. R_M+ e_j) – (α_j+ β_j . E(R_M)))]

= E[β_i . (R_M - E(R_M)) . β_j . (R_M - E(R_M)) + β_i . (R_M - E(R_M)) . e_j+ β_j . (R_M -

E(R_M)) .

e_i + e_i . e_j)]

= β_i . β_j . E[R_M - E(R_M)]² + β_i. E(R_M - E(R_M)) . e_j] + β_j. E(R_M- E(R_M)) . e_i]

+ E[e_i. e_j]

Berdasarkan asumsi yang digunakan dimodel ini , maka tiga bagian terakhir dari persamaan diatas adalah sama dengan nol, sehingga kovarian return menjadi :

σ_ij = β_i. β_j . σ_M²

Contoh:

Dua buah sekuritas A dan B masing – masing mempunyai beta yaitu βA = 1,7 dan βB = 1,3. varian return dari indeks pasar diketahui sebesar 0,00026. dengan menggunakan rumus diatas maka kovarian antara sekuritas A dan B adalah sebesar :

σ_ij = β_i . β_j. σ_M²

= 1,7 . 1,3 . 0,00026 = 0,00057

PARAMETER – PARAMETER INPUT UNTUK MODEL MARKOWITZ

Model indeks tunggal dapat digunakan untuk menghitung return ekspektasi (E(Ri)), varian sekuritas (σi²) dan kovarian antar sekuritas (σij) yang merupakan parameter – parameter input untuk analisis portofolio menggunakan model Markowitz. Maksudnya adalah bahwa hasil dari model indeks tunggal yaitu E(Ri), σi², σij dapat digunakan sebagai input untuk menghitung return ekspektasi dan resiko portofolio ,menggunakan model Markowitz.

Rumus return ekspektasi :

E(Rp) = 1/3.E(R1) + 1/3.E(R2) + 1/3.E(R3)

Resiko portofolio

σp² = WA . σA² + WB . σB² + 2 . WA . WB . σAB

ANALISIS PORTFOLIO MENGGUNAKAN MODEL INDEKS TUNGGAL

Selain hasil dari model indeks tunggal dapat digunakan sebagai input analisis portfolio, model indeks tunggal dapat juga digunakan secara langsung untuk analisis portfolio. Analisis portfolio menyangkut perhitungan return ekspektasi portfolio dan risiko portfolio.

7.1 Return Ekspektasi Portfolio

Return ekspektasi dari suatu portfolio selalu merupakan rata-rata tertimbang dari return ekspektasi individual sekuritas :

Dengan mensubstitusikan E(R_i) menggunakan nilai di persamaan, return ekspektasi portfolio menjadi :

Model indeks tunggal mempunyai beberapa karakteristik sebagai berikut ini.

1. Beta dari portfolio (βp) merupakan rata-rata tertimbang dari Beta masing-masing sekuritas (βi):

2. Alpha dari portfolio (αp) juga merupakan rata-rata tertimbang dari Alpha tiap-tiap sekuritas (αi):

Dengan mensubstitusikan karakteristik ini, yaitu βp dan αp kedalam persamaan return ekspektasi portfolio, maka return ekspektasi portfolio menjadi:

7.2 Risiko Portfolio

Varian dari suatu sekuritas yang dihitung berdasarkan model indeks tunggal adalah sebagai berikut :

Varian dari portfolio adalah sebesar :

Dengan menggunakan karakteristik Beta dari portfolio, maka varian dari portfolio selanjutnya dapat dituliskan:

Salah satu kegunaan model indeks tunggal adalah untuk menyederhanakan perhitungan model Markowitz. Untuk menghitung return dan resiko portfolio, model Markowitz membutuhkan parameter-parameter input berupa return ekspektasi masing-masing sekuritas, varian masing-masing sekuritas dan kovarian antara sekuritas-sekuritas. Untuk menghitung risiko portfolio yang terdiri dari n-buah aktiva, model Markowitz membutuhkan perhitungan sebanyak n buah varian dan (n . (n-1)) buah varian. Karena kovarian sifatnya simetri, yaitu Cov ( )adalah sama dengan Cov ( ), maka perhitungan

kovarian hanya separuhnya saja, yaitu sebanyak (n . (n-1) / 2). Dengan demikian jumlah perhitungan yang dibutuhkan untuk menghitung risiko model Markowitz adalah sebanyak n + (n . (n-1) / 2).

Untuk portfolio yang didiversifikasikan, bagian dari kedua dari risiko varian ini, yaitu risiko yang tidak sistematik akan semakin kecil nilainya dengan semakin banyaknya sekuritas di dalam portfolio dan akan bernilai nol jika jumlah sekuritas sangat besar. Dengan demikian untuk portfolio yang didiversifikasikan dengan jumlah n yang banyak, risiko tidak sistematik akan hilang dan hanya risiko sistematik yang masih tertinggal. Akibatnya, risiko portfolio yang teridentifikasi dengan baik hanya terdiri dari unsur sistematik saja sebagai berikut :

σ_p² = β_p² .σ_M²

8. MODEL PASAR

Model Pasar (market model) merupakan bentuk dari model indeks tunggal dengan batasan yang lebih sedikit. Model pasar bentuknya sama dengan model indek tunggal. Perbedaannya terletak di asumsinya. Di model indeks tunggal, diasumsikan bahwa kesalahan residu masing-masing sekuritas tidak berkovari satu dengan yang lainnya atau Cov(ei, ej) = 0. Di model pasar, asumsi ini tidak digunakan atau kesalahan residu masing-masing sekuritas dapat berkorelasi. Kenyataannya bahwa sekuritas berkovari atau berkorelasi satu dengan yang lainnya membuat model pasar lebih realitas. Model pasar ini banyak digunakan oleh peneliti-peneliti pasar modal untuk menghitung abnormal return. Bentuk model pasar yang sama dengan bentuk model indeks tunggal mempunyai return dan return ekspektasi sebagai berikut :

R_i = α_i + β_i . R_M + e_i

dan

E(R_i) = α_i + β_i. E(R_M)

PORTOFOLIO OPTIMAL BERDASARKAN MODEL INDEKS TUNGGAL

Perhitungan untuk menentukan portofolio optimal akan sangat dimudahkan juika hanya didasarkan pada sebuah angka yang dapat menentukan apakah suatu sekuritas dapat dimaksukkan kedalam portofolio optimal tersebut. Angka tersebut adalah rasio antara ekses return dengan Beta (excess return to beta ratio). Rasio ini adalah :

Keterangan :

ERB_i = excess return to betasekuritas ke-i

E(R_i) = return ekspektasi berdasarkan model indeks tunggal untuk sekuritas ke-i

R_BR = return aktiva bebas rasio

β_i = Beta sekuritas ke-i

excess return didefinisikan sebagai selisih return ekspektasi dengan retuen aktiva bebas resiko. Excess return to beta berarti mengukur kelebihan return relatif terhadap satu unit risiko dapat didiversifikasikan yang diukur dengan Beta. Rasio ERB ini juga menunjukan hubungan antara dua faktor penentu investasi, yaitu return dan resiko.

Portofolio yang optimal akan berisi dengan aktiva –aktiva yang mempunyai nilai rasio ERB yang tinggi. Aktiva-aktiva dengan rasio ERB yang rendah tidakakan dimasukkan kedalam portofolio optimal. Dengan demikian diperlukan sebuah titik pembatas (cutt-off point) yang menentukan batas nilai ERB brapa yang dikatakan tinggi. Besarnya titik pembatas ini dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut ini

· Urutkan sekuritas-sekuritas berdasarkan nilai ERB terbesar kenilai ERB terkecil. Sekuritas-sekuritas dengan nilai ERB terbesar merupakan kandidat untuk dimasukkan ke portofolio optimal.

· Hitung nilai Ai dan Bi untuk masing-masing sekuritas ke-I sebagai berikut :

Dan

Keterangan :

𝝈_ei² = varian dari kesalahan residu sekuritas ke-i yang juga merupakan

risiko

Unik atau resiko tidak sistematis.

· Hitung nilai C_i (lihat rumus L9-4 dilampiran bab ini untuk derivasi rumus ini

Keterangan :

𝝈_M² = varian dari return indeks pasar

Ci adalah nilai C untuk sekuritas ke-I yang dihitung dari kumulasi nilai-nilai A1 sampai dengan Ai dan nilai-nilai B1samapai dengan Bi. Misalnya C3 menunjukkan nilai C untuk sekuritas ke-3 yang dihitung dari kumulasi A1, A2, A3dan B1, B2, B3.

Dengan mensubsitusikan nilai Aj dan Bj dirumus sebelumnya ke nilai Ci dirumus diatas maka Ci menjadi :

· Besarnya cut-off point (C*) adalah nilai Ci dimana nilai ERB terakhir kali masih lebih besar dari nilai Ci.

· Sekuritas-sekuritas yang membentuk portofolio optimal adalah sekuritas-sekuritas yang mempunyai nilai ERB lebih besar atau sama dengan nilai ERB dititik C*. sekuritas-sekuritas yang mempunyai ERB lebih kecil dengan ERB titik C* tidak diikut sertakan dalam pembentukan portofolio optimal.

Contoh:

Misalnya suatu pasar modal mempunyai 15buah sham yang tercatat. Data return ekspektasi (Ri), Beta (βi) dan resiko tidak sistematik (𝝈ei2) untuk masing-masing sekuritas dapat dilihat di table. Misalnya lagi diketahui bahwa return aktiva bebas risiko (RBR) adalah sebesar 10 % dan varian indeks pasar (𝝈M2) adalah 10%.

Data untuk mengitung portofolio optimal model indeks tunggal,

Nama saham	E (R_i)	β_i	𝝈_ei²	ERB_i
A	20	2.00	5.0	5.00
B	19	1.50	4.0	6.00
C	17	1.50	3.0	4.67
D	15	1.20	1.5	4.17
E	17	1.40	2.5	5.00
F	27	2.00	7.5	8.50
G	12	1.00	5.5	2.00
H	11	0.80	3.0	1.25
I	12	0.75	3.5	2.67
J	14	1.20	4.0	3.33
K	15	1.25	4.5	4.00
L	23	1.50	5.0	8.67
M	22	1.20	3.5	10.00
N	15	1.50	2.5	3.33
O	25	1.80	2.0	8.33

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menghitung nilai ERBi untuk masing-masing sekuritas ke-I sesuai dengan rumus. Hasil perhitungan ERBi ini tampak dikolom terakhir. Langkah selanjutnya adalah mengurutkan table dari nilai ERBi tertinggi ke terkeci. Kemudian nilai Ai, Bi, Cidapat dihitung dan hasilnya disajikan table berikut ini.

Nama perusahaaan	E (Ri)	βi	𝝈ei2	ERBi	Ai	Bi			Ci
M	22	1.20	3.5	10.00	4.114	0.411	4.114	0.411	8.045
L	23	1.50	5.0	8.67	3.900	0.450	8.014	0.861	8.336
F	27	2.00	7.5	8.50	4.533	0.533	12.548	1.395	8.394
O	25	1.80	2.0	8.33	13.500	1.620	26.048	3.015	8.363
B	19	1.50	4.0	6.00	3.375	0.563	29.423	3.577	8.001
A	20	2.00	5.0	5.00	4.000	0.800	33.423	4.377	7.465
E	17	1.40	2.5	5.00	3.920	0.784	37.343	5.161	7.098
C	17	1.50	3.0	4.67	3.500	0.750	40.843	5.911	6.794
D	15	1.20	1.5	4.17	4.000	0.960	44.843	6.871	6.432
K	15	1.25	4.5	4.00	1.389	0.347	46.432	7.218	6.317
J	14	1.20	4.0	3.33	1.200	0.360	47.432	7.578	6.177
N	15	1.50	2.5	3.33	3.000	0.900	50.432	8.478	5.879
I	12	0.75	3.5	2.67	0.429	0.161	50.860	8.639	5.820
G	12	1.00	5.5	2.00	0.364	0.182	51.224	8.821	5.742
H	11	0.80	3.0	1.25	0.267	0.213	51.490	9.034	5.637

Dikolom Ci. Nilai C* adalah sebesar 8.394, yaitu untuk sekuritas ‘F’ dengan nilai ERB sebesar 8.50 yang merupakan nilai ERB terakhir kali masih lebih besar dari nilai Ci. Nilai ERB selanjutnya yaitu 8.33 untuk sekuritas ‘O’ sudah tidak dimasukkan sebagai bagian dari portofolio optimal. Sekuritas-sekuritas membentuk portofolio optimal adalah sekuritas yang mempunyai ERB lebih besar dari Ci, yaitu sekuritas-sekuritas ‘F’, ‘M’, dan ‘L’.

Setelah sekuritas-sekuritas yang membentuk portofolio optiomal telah dapat ditentukan, pertanyaan berikut adalah berapa besar proporsi masing-masing sekuritas tersebut didalam portofolio optimal. Besarnya proporsi untuk sekuritas ke-I adalah sebesar: